形式逻辑与数学分析方法28.温:这与逻辑有什么关系?

29.沙: 从上面的分析我们可以体会到,人类欢迎对一类事物、现象、问题有统一的感悟和表述远胜于对其中每件事物、现象、问题有不同的感悟和表述。并且这个类越大越好,然后对这类事物、现象、问题的研究可以从这种表述出发来进行研究,可以把这种表述和理解称为这类事物的概念模型。

特别适合于这种条件的一类事物就是逻辑,同时逻辑又是最重要的一类事物。如果逻辑运用得好,那么从任何一类事物的概念模型出发就可以进行逻辑推理,逻辑推 理相对于思辨的优越性是明显的,首先其速度快,一项推理只需要几分钟,甚至更短的时间就可能完成。二是一致性好,在同样的概念模型基础上,逻辑推理结论的 一致性好,容易形成全社会的共识。

当然逻辑虽好,其出发点还是概念模型,而从问题感悟到形成可以用语言文字形式表述的概念模型仍离不开思辨。因此思辨与逻辑各有各的用处,相辅相成。

30.温:逻辑到底是什么?能否解释得更直接些?

31.沙: 逻辑指人们的思维规律,对世界中万事万物的多种理解,判断的规律。逻辑范围也很广,并非一定形成全人类的共识。逻辑学中有个分支叫形式逻辑,形式逻辑用来研究命题。命题是人类思维过程中一大类事物的概念模型。对这类事物的兴趣可以用:是,否;正确,错误;合理,不合理;存在,不存在;有,无等等来描述。再抽象一些,对命题的兴趣就是成立或不成立。而形式逻辑专门研究相关命题是否成立的规律。 由于形式逻辑中的概念模型(命题)最简单,追求回答的问题最简单。因此规律也最简单。最早被全人类所接受,成为成熟最早的科学学科。 形式逻辑在人们认识世界的过程中发挥了极大的作用。可以说整个数学,现代自然科学都建筑在形式逻辑的基础上。遗憾的是社会科学中还未充分发挥形式逻辑的威力。

32.问: 你刚才解释了逻辑特别是形式逻辑的问题,思维方式与数学又有什么相干?

33.沙 形式逻辑虽然十分重要,但形式逻辑的对象是“事件”,事件只有两种可能:是或否,成立或不成立。因此当用形式逻辑来分析有多种可能的事物时并不方便,特别是涉及数量时。当我们研究一个现象的变化过程时就往往涉及数量的变化,这就需要数学。 数是数学中的基本概念,最简单的就是自然数,或称正整数。后来发展到零,到负整数,从而形成整数的概念。再扩展就是有理数、无理数、实数、虚数、复数的概念等等。在自然数内有加法、乘法,它们遵守一定的规律这就是加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,乘法对加法的分配律等等。这些就是自然数中的概念模型,这些规律还可以用公式表示。这就是关于自然数的数学模型。当然关于自然数的数学模型中还有序的问题,即大于、小于、等于等关系。到整数集、实数集、复数集中概念模型与数学模型的内涵更丰富。 有了数与数学,对于世界的描述可以更为精细,表述也可以更为简洁。从而成为人们思维时的有力工具。

34.问:形式逻辑与数有什么关系?

35.沙 数学的基本概念,或者其中的概念模型,数学模型来自于对世间万物的抽象。在此基础上所有的性质、定理、证明与演绎全部用的是形式逻辑的方法,可以说没有形式逻辑就不会有数学。 另一方面用数学来描述世界可以更精细、往往也更本质地反映世间事物、现象的规律。在思维科学中数学是形式逻辑的重要补充,两者相辅相成。 形式逻辑与数学方法相对于思辨方法的优越性不仅在于推理过程的快捷,时间单位通常以分钟、小时为单位计算,而且在于推理过程的自证明性。也就是说结论的正确性可以由前提的正确性与推理过程符合形式逻辑与数学原理来保证。这两点特征正是使得能自由运用它们的自然科学得以快速发展的重要原因,也是社会科学还不能快速发展的原因。